I'm flat broke.とは、= I have no money.のこと。
Breakの過去形もBrokeだが、このbrokeは "without money" という形容詞。
Flatとは、「スムーズ」「高くない(ぺたんこ靴とか)」「動かない」「空気が無い」「完全に」など沢山意味がある。「完全に」お金がない、と言いたいときは、”completely” より ”flat” らしい。